MÉTODO DE FLEXIBILIDADES

El método se resume a los siguientes pasos: 

• Determinar el grado de indeterminación de la estructura (grado de hiperestaticidad).

$$g=r+3b-3n+e$$
Dónde:
r: número de reacciones
b: número de barras
n: número de nodos
e: número de ecuaciones adicionales

• Escoger las incógnitas o redundantes. 
• Isostatizar la estructura (estructura primaria) y verificar que sea estable.
• Determinar las ecuaciones de momento para cada estructura (primaria y virtuales).
• Calcular las deformaciones teniendo en cuenta los efectos de la flexión.
  $$\delta_{ij}=\displaystyle \int {\frac{m_{i}m_{j}}{EI}dx}$$
  $$\Delta_{L}=\displaystyle \int {\frac{M(x) \cdot m(x)}{EI}}$$
• Plantear las ecuaciones de compatibilidad.
  Si $\Delta_{L}$ representa el desplazamiento en dirección de la redundante de la estructura liberada y $\Delta_{R}$ el desplazamiento en dirección de la redundante a causa de la misma, podemos plantear:
  $$\Delta_{L}+\Delta_{R}=\Delta_{p}$$
  Donde $\Delta_{p}$ es un desplazamiento conocido o preestablecido. Si el soporte no se deflexiona o cede en alguna medida (asentamieno) es igual a cero. La cantidad $\Delta_{R}$ está en términos de la redundante R, puede escribirse como:$$\Delta_{R}=\delta R$$
  Finalmente el sistema puede plantearse como:
  $$\left\{ \begin{array}{c}
  \delta_{11}R_{1}+\delta_{12}R_{2}+\cdots+\delta_{1j}R_{j}+\Delta_{1L}=\Delta_{1p}\\
  \delta_{21}R_{1}+\delta_{22}R_{2}+\cdots+\delta_{2j}R_{j}+\Delta_{2L}=\Delta_{2p}\\
   \vdots \\
  \delta_{i1}R_{1}+\delta_{i2}R_{2}+\cdots+\delta_{ij}R_{j}+\Delta_{iL}=\Delta_{ip}
  \end{array} \right.
  $$
• Para calcular las reacciones restantes se aplica suma de fuerzas y momentos.
  $\Sigma F=0$
  $\Sigma M=0$

Ejemplo 1: Calcular las reacciones de la siguiente estructura. 

Solución: 

PASO 1: Analizar el grado de hiperestaticidad, $g=5+3(2)-3(3)=2$, debemos por tanto, eliminar dos reacciones de la estructura, para este ejemplo vamos a eliminar los dos apoyos de rodillo (PASO 2), quedando así, nuestra estructura liberada (PASO 3): 

PASO 4: procedemos a calcular las ecuaciones de momento para la estructura liberada. 

 Primer tramo: $0 \le x \le 4  \Longrightarrow$ $M(x)=0$

Segundo tramo: $4 \le x \le 8  \Longrightarrow$ $M(x)=60x-240$

Tercer tramo: $8 \le x \le 18  \Longrightarrow$ $M(x)=10x^{2}-100x+400$

Ahora vamos a determinar las ecuaciones de momento para las redundantes, como son dos redundantes haremos dos análisis por separado. 

Redundante en B: 

$0 \le x \le 8  \Longrightarrow m(x)=0$

$8 \le x \le 18  \Longrightarrow m(x)=x-8$

Redundante en C:

$0 \le x \le 18  \Longrightarrow m(x)=x$

PASO 5: determinar las deformaciones
$EI \delta_{11}=\displaystyle \int_{8}^{18} {(x-8)^{2}dx}=\frac{1000}{3}$

$EI \delta_{12}=\displaystyle \int_{8}^{18}{x(x-8)dx}=\frac{2200}{3}$

$EI \delta_{22}=\displaystyle \int_{0}^{18}{x^{2}dx}=1944$

$EI \Delta_{1L}=\displaystyle \int_{8}^{18}{(10x^{2}-100x+400)(x-8)dx}=57,000$

$EI \Delta_{2L}=\displaystyle \int_{4}^{8}{x(60x-240)dx}+\displaystyle \int_{8}^{18}{x(10x^{2}-100x+400)}=130,066.67$

PASO 6: plantear ecuaciones de compatibilidad
$$
\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
\displaystyle \frac{1000}{3}B_{y}+\displaystyle \frac{2200}{3}C_{y}+57,000=0\\
\displaystyle \frac{2200}{3}B_{y}+1944C_{y}+130,066.67=0
\end{array} \right.
$$
Obteniendo así: $B_{y}=-139.95\ kN$ y $C_{y}=-14.11\ kN$
Finalmente, las reacciones del punto A se determinan aplicando condiciones de equilibrio.
$\Sigma M_{A}=0 \Longrightarrow  -20(10)(5)+139.95(10)-60(14)+14.11(18)+M_{A}=0 \Longrightarrow M_{A}=186.52\ kN \cdot m$

$\Sigma F_{y}=0 \Longrightarrow -20(10)+139.95-60+14.11=0 \Longrightarrow A_{y}=105.94\ kN$