
El método se resume a los siguientes pasos:
- Determinar el grado de indeterminación de la estructura (grado de hiperestaticidad).
Dónde:
r: número de reacciones
b: número de barras
n: número de nodos
e: número de ecuaciones adicionales
- Escoger las incógnitas o redundantes.
- Isostatizar la estructura (estructura primaria) y verificar que sea estable.
- Determinar las ecuaciones de momento para cada estructura (primaria y virtuales).
- Calcular las deformaciones teniendo en cuenta los efectos de la flexión.
\delta_{ij}=\displaystyle \int {\frac{m_{i}m_{j}}{EI}dx}
\Delta_{L}=\displaystyle \int {\frac{M(x) \cdot m(x)}{EI}} - Plantear las ecuaciones de compatibilidad.
Si \Delta_{L} representa el desplazamiento en dirección de la redundante de la estructura liberada y \Delta_{R} el desplazamiento en dirección de la redundante a causa de la misma, podemos plantear:
\Delta_{L}+\Delta_{R}=\Delta_{p}
Donde \Delta_{p} es un desplazamiento conocido o preestablecido. Si el soporte no se deflexiona o cede en alguna medida (asentamieno) es igual a cero. La cantidad \Delta_{R} está en términos de la redundante R, puede escribirse como:\Delta_{R}=\delta R
Finalmente el sistema puede plantearse como:
\left\{ \begin{array}{c} \delta_{11}R_{1}+\delta_{12}R_{2}+\cdots+\delta_{1j}R_{j}+\Delta_{1L}=\Delta_{1p}\\ \delta_{21}R_{1}+\delta_{22}R_{2}+\cdots+\delta_{2j}R_{j}+\Delta_{2L}=\Delta_{2p}\\ \vdots \\ \delta_{i1}R_{1}+\delta_{i2}R_{2}+\cdots+\delta_{ij}R_{j}+\Delta_{iL}=\Delta_{ip} \end{array} \right. - Para calcular las reacciones restantes se aplica suma de fuerzas y momentos.
\Sigma F=0
\Sigma M=0
Ejemplo 1: Calcular las reacciones de la siguiente estructura.
Solución:
PASO 1: Analizar el grado de hiperestaticidad, g=5+3(2)-3(3)=2, debemos por tanto, eliminar dos reacciones de la estructura, para este ejemplo vamos a eliminar los dos apoyos de rodillo (PASO 2), quedando así, nuestra estructura liberada (PASO 3):
PASO 4: procedemos a calcular las ecuaciones de momento para la estructura liberada.
Primer tramo: 0 \le x \le 4 \Longrightarrow M(x)=0
Segundo tramo: 4 \le x \le 8 \Longrightarrow M(x)=60x-240
Tercer tramo: 8 \le x \le 18 \Longrightarrow M(x)=10x^{2}-100x+400
Ahora vamos a determinar las ecuaciones de momento para las redundantes, como son dos redundantes haremos dos análisis por separado.
Redundante en B:
0 \le x \le 8 \Longrightarrow m(x)=0
8 \le x \le 18 \Longrightarrow m(x)=x-8
Redundante en C:
0 \le x \le 18 \Longrightarrow m(x)=x
PASO 5: determinar las deformaciones
EI \delta_{11}=\displaystyle \int_{8}^{18} {(x-8)^{2}dx}=\frac{1000}{3}
EI \delta_{12}=\displaystyle \int_{8}^{18}{x(x-8)dx}=\frac{2200}{3}
EI \delta_{22}=\displaystyle \int_{0}^{18}{x^{2}dx}=1944
EI \Delta_{1L}=\displaystyle \int_{8}^{18}{(10x^{2}-100x+400)(x-8)dx}=57,000
EI \Delta_{2L}=\displaystyle \int_{4}^{8}{x(60x-240)dx}+\displaystyle \int_{8}^{18}{x(10x^{2}-100x+400)}=130,066.67
PASO 6: plantear ecuaciones de compatibilidad
\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle \frac{1000}{3}B_{y}+\displaystyle \frac{2200}{3}C_{y}+57,000=0\\ \displaystyle \frac{2200}{3}B_{y}+1944C_{y}+130,066.67=0 \end{array} \right.
Obteniendo así: B_{y}=-139.95\ kN y C_{y}=-14.11\ kN
Finalmente, las reacciones del punto A se determinan aplicando condiciones de equilibrio.
\Sigma M_{A}=0 \Longrightarrow -20(10)(5)+139.95(10)-60(14)+14.11(18)+M_{A}=0 \Longrightarrow M_{A}=186.52\ kN \cdot m
\Sigma F_{y}=0 \Longrightarrow -20(10)+139.95-60+14.11=0 \Longrightarrow A_{y}=105.94\ kN
Redundante en C:
0 \le x \le 18 \Longrightarrow m(x)=x
PASO 5: determinar las deformaciones
EI \delta_{11}=\displaystyle \int_{8}^{18} {(x-8)^{2}dx}=\frac{1000}{3}
EI \delta_{12}=\displaystyle \int_{8}^{18}{x(x-8)dx}=\frac{2200}{3}
EI \delta_{22}=\displaystyle \int_{0}^{18}{x^{2}dx}=1944
EI \Delta_{1L}=\displaystyle \int_{8}^{18}{(10x^{2}-100x+400)(x-8)dx}=57,000
EI \Delta_{2L}=\displaystyle \int_{4}^{8}{x(60x-240)dx}+\displaystyle \int_{8}^{18}{x(10x^{2}-100x+400)}=130,066.67
PASO 6: plantear ecuaciones de compatibilidad
\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle \frac{1000}{3}B_{y}+\displaystyle \frac{2200}{3}C_{y}+57,000=0\\ \displaystyle \frac{2200}{3}B_{y}+1944C_{y}+130,066.67=0 \end{array} \right.
Obteniendo así: B_{y}=-139.95\ kN y C_{y}=-14.11\ kN
Finalmente, las reacciones del punto A se determinan aplicando condiciones de equilibrio.
\Sigma M_{A}=0 \Longrightarrow -20(10)(5)+139.95(10)-60(14)+14.11(18)+M_{A}=0 \Longrightarrow M_{A}=186.52\ kN \cdot m
\Sigma F_{y}=0 \Longrightarrow -20(10)+139.95-60+14.11=0 \Longrightarrow A_{y}=105.94\ kN
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